Le zéro arithmétique a mis du temps à se frayer un chemin dans l’histoire humaine. Marquer l’absence par un symbole particulier n’est pas allé de soi. La peur de représenter le vide, la non-existence, le manque de quelque chose… Voici le récit de ce zéro, un rien à l’origine d’une véritable révolution de la pensée.
L’histoire avait pourtant bien commencé… Dès le IIIe siècle av. J.-C., les Babyloniens inventent un système de représentation des nombres en fonction de la position, ressemblant dans le principe à notre numération décimale. Dans un tel système, pour différencier douze de cent deux, il faut bien un signe spécifique. Au début, on utilise un espace vide pour marquer l’absence de dizaine : ainsi douze se représente 12, tandis que cent deux s’écrit 1 2. Les risques de confusion des nombres sont alors importants, et les erreurs dans les transactions marchandes nombreuses. Ce qui oblige les scribes à créer un symbole cunéiforme plus distinctif constitué de deux entailles penchées (ainsi 1 2 devient quelque chose comme 1//2, qui se confond moins avec 12). Nous avons ici la première représentation du zéro positionnel.
Mais le zéro qui pose problème n’est pas celui-ci ; c’est le zéro arithmétique, un nombre à part entière, marquant l’absence d’objets, sur lequel on peut faire des opérations et qui permet d’écrire que : a + 0 = a et a × 0 = 0. « Celui dont on pensa pendant longtemps qu’il n’avait pas de sens, celui dont on mit des siècles à admettre l’existence » écrit Antoine Houlou-Garcia (mathématicien de formation et vulgarisateur de l’histoire des mathématiques), dans son dernier ouvrage, Il était une fois le zéro.
Le zéro, incompatible avec la pensée grecque
Au VIe siècle avant notre ère, Pythagore découvre que n’importe quel nombre, qu’il soit entier (comme 2), rationnel (3/2) ou irrationnel (√2), est en relation, par proportion, à n’importe quel autre nombre.
Le nombre 2 engendre bien tous les nombres pairs par la multiplication avec 1, 2, 3… Il engendre aussi tous les nombres impairs par la multiplication avec 3/2, 5/2, 7/2…, et il engendre même l’irrationnel √2 si on le divise par √2. On dit que tous les nombres sont en proportion. Tous les nombres… sauf 0 ! Car zéro divisé ou multiplié par n’importe quel nombre fait toujours zéro.
Cette particularité échaude les mathématiciens de la Grèce antique ! Faut-il considérer zéro comme un nombre ? Non, oui… ? Si oui, c’est manifestement un nombre à part.
En outre, les Grecs attribuent aux mathématiques une esthétique symbolisant la beauté de l’univers ; en tant que telles, elles se doivent d’être ordonnées et harmonieuses. Dans cette représentation quasi philosophique, l’unité (c’est-à-dire le nombre un) est le principe créateur de tous les nombres : si on ajoute 1 à 1, on obtient 2, si on augmente ce dernier de 1, on obtient 3 et ainsi de suite… Un est la matrice de tous les nombres entiers par addition, et il est lié à n’importe quel autre nombre par proportion.
Qu’en est-il du zéro dans cette mécanique bien huilée ? Zéro est bien obtenu en retranchant 1 à 1. Il est à ce titre l’élément premier et détrône le un de sa place, mais ajouter zéro à une quantité ne l'enrichit en aucune manière. Et on a vu que zéro n’engendre aucun autre nombre par proportion. Le zéro est bien un grain de sable qui sabote l’idéal esthétique des Grecs. Pour cette raison, ils le rejettent.
La naissance du zéro au nord-ouest de l’Inde
Il a toujours été plus commode pour l’esprit humain de penser la non-possession de quelque chose que la possession de l’absence de cette chose. On dira plus volontiers « Je n’ai pas d’argent » que « j’ai du non-argent ». Si les choses ont un nom, l’absence de ces choses en a rarement un. L’absence, le vide et le néant sont difficilement appréhendables, de même que l’infini, l’alter ego (inversé) du zéro…
La première trace écrite du zéro arithmétique apparaît dans un traité d’astronomie au début du VIIe siècle, au nord-ouest de l’Inde. Il est l’œuvre de Brahmagupta, l’un des plus importants mathématiciens de la fin de l’âge « classique » ; une période de plein essor intellectuel, qui voit naître aussi le livre des « principes de l’amour », universellement connu sous nom d’origine : Kamasutra.
À l’inverse de la conception grecque, la notion du vide est banale dans l’hindouisme. Aussi, « l’absence », « l’absorption dans le vide », « l’état de contemplation du vide » sont des pratiques religieuses courantes (du moins pour la caste initiée). Le néant fait moins peur en Inde qu’il ne le faisait aux Grecs anciens. Par ailleurs, les chrétiens du moyen-âge ont aussi une peur bleue du néant, car il est incompatible avec l’idée même d'un dieu, créateur du tout.
Un autre aspect qui a favorisé l’apparition du zéro en Inde est l’utilisation linguistique sanskrite des nombres négatifs pour exprimer une dette. Antoine Houlou-Garcia écrit à ce propos : « Cette capacité à penser les nombres négatifs à partir de la sphère économique (gain versus dette) […] a rendu moins problématique l’usage du zéro en Inde, car, entre les positifs et les négatifs, siège assez naturellement le point d’équilibre qu’est le zéro. »
Contrairement à ce que l’on croit, les chiffres que l’on utilise aujourd’hui en mathématiques (0, 1, 2, 3…) ne sont pas d’invention arabe, mais indienne. On parle de chiffres arabes, mais c’est un abus de langage… Les savants de l’ancienne Irak ont néanmoins écrit les premiers livres d’algèbre, amélioré et transmis la connaissance des chiffres indiens à l’occident médiéval.
L’adoption du zéro par les mathématiciens arabes
Au VIIIe siècle, le monde arabo-musulman s’étend d'une partie de l'Inde jusqu’à la péninsule ibérique. La dynastie des Abbassides renverse les Omeyyades et érige une nouvelle cité pour marquer son pouvoir : Bagdad. Idéalement située, au carrefour de différentes cultures, la ville devient un centre de savoir, de commerce et de diplomatie. Les traductions d’œuvres grecques, romaines et indiennes en arabe y sont encouragées, ce qui permet aux savants de s’approprier et de développer des connaissances dans tous les domaines.
Ainsi, en 825, le mathématicien bagdadien Al-Khwārizmī (dont provient le terme « algorithme ») écrit en langue arabe le premier ouvrage concernant la numération indienne, intitulé Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul indien.
Comme pour les chrétiens, les arabo-musulmans voient d’un mauvais œil ce zéro représentant le vide. Mais plus pragmatiques, ils l’adoptent. Il faut reconnaître que le package, constitué du zéro et des neuf autres chiffres importés de l’Inde, simplifie beaucoup les calculs des astronomes. Le zéro est lancé… Il va suivre son bonhomme de chemin jusqu’à ce que les marchands en Europe ne puissent plus s’en passer.
Diffusion du zéro en Occident grâce à Fibonacci
À la fin du XIIe siècle, le jeune Fibonacci, fils d’un puissant marchand de la République de Pise, se rend à Béjaïa, en Algérie, pour étudier les mathématiques… Après plusieurs années de périple sur le pourtour méditerranéen, Fibonacci revient en Italie et rédige en 1202 le Liber abbaci (Le Livre des calculs). Véritable tournant dans la pensée occidentale, Le Livre des calculs introduit dès le premier chapitre les chiffres indiens ainsi que le zéro, que Fibonacci nomme Zephirum (dont le terme zéro découle) pour traduire l’arabe sifr, signifiant vide.
L’ouvrage explique notamment comment utiliser le zéro dans la multiplication. Antoine Houlou-Garcia écrit : « Fibonacci est très clair : si on multiplie 607 par 607, on commence par calculer 7 fois 7, ce qui fait 49, puis on calcule 7 fois 0, ce qui fait 0 (et ainsi de suite pour procéder à l’opération). […] Fibonacci ne se contente d’ailleurs pas de présenter le zéro et les nombres indiens : il montre également à quel point le calcul indien est révolutionnaire. »
Malgré un rejet initial des chiffres et du zéro indiens, beaucoup trop novateurs et perturbants par rapport à l’utilisation classique des abaques et autres bouliers, Le Livre des calculs finit par s’imposer, et pour cause : la bourgeoisie marchande s’aperçoit combien cette nouvelle manière de compter facilite les transactions commerciales. En 1338, ne serait-ce qu’à Florence, on ne compte pas moins de six grandes écoles de commerce (comme on dirait aujourd’hui) enseignant les mathématiques indo-arabes, dont l’ouvrage de référence est Le Livre des calculs.
Le zéro de l’analyse, le zéro logique, catalyseurs de la modernité
L’apparition du zéro de l’analyse (ou zéro-limite) est plus tardive. Le zéro-limite prend forme avec le calcul infinitésimal élaboré (en concurrence) par Isaac Newton et Gottfried Willem Leibniz à la fin du XVIIe siècle.
On s’intéresse non plus au rien, mais au presque rien… La dualité entre le zéro et l’infini crève alors les yeux : si x tend vers 0 (par exemple, si on part de 1, puis 0,1 puis 0,01 puis 0,001, etc...), alors 1/x tend vers l’infini, et inversement. Le zéro et l’infini sont pour ainsi dire les deux faces d’une même pièce.
Aussi, il est impossible d’attribuer la moindre valeur à 1/0 ; à la rigueur, si elle existait, on sait juste qu’elle représenterait l’infini… or, l’infini n’est pas un nombre déterminé. La division par zéro donne donc un résultat indéterminé. C’est pourquoi les mathématiques proscrivent cette opération particulière. C’est pourquoi aussi les ordinateurs lèvent une erreur quand ils doivent exécuter une division par zéro (bug courant dans les boucles de traitements en informatique).
Une branche du calcul infinitésimal est le calcul différentiel, dont l’objet premier est de déterminer la pente de la tangente en un point donné x0 d’une courbe f(x) — que d'Alembert nommera plus tard dérivée en x0 et que l’on notera f’(x0). Pour calculer la pente de cette tangente, Newton introduit la notion de fluxion (ancêtre de la limite), qu’il définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ». Cette notion est formalisée au XIXe siècle par Cauchy (définition qui doit rappeler à certains de mauvais souvenirs de lycée) :
On voit bien que h est un zéro-limite, de même que f(x0+h) - f(x0). Zéro divisé par zéro n’a absolument aucun sens, mais comme l’écrit Gérald Tenenbaum dans son livre Des mots & des maths, « Newton avait un point de vue dynamique et considérait globalement un processus de décroissance conjointe de ces [deux] quantités… ». Penser la division d’un zéro-limite par un autre zéro-limite (et non plus zéro par zéro) a permis d’atteindre une étape cruciale dans l’histoire des sciences.
Les dérivées jouent un rôle essentiel dans la description des phénomènes naturels. On les retrouve quasiment partout : de la mécanique classique jusqu’à la physique quantique en passant par la vitesse d’une réaction en chimie… Le calcul différentiel permet aussi d’optimiser la conception des installations industrielles.
Il y a un autre zéro qui a contribué à l’émergence du monde d’aujourd’hui : le zéro logique, associé au 1 logique. Le couple binaire 1/0 (vrai/faux, ouvert/fermé) constitue les deux éléments de langage nécessaires et suffisants pour le traitement des instructions par les microprocesseurs des ordinateurs. Pour quelles raisons ? Parce que les constituants de base des microprocesseurs, les transistors miniaturisés dans les puces de silicium, possèdent deux états stables et seulement deux : actif (1) / bloqué (0). Ce qui n’empêche pas cette caractéristique minimaliste au niveau physique de traiter au niveau logique des algorithmes complexes, grâce au grand nombre de composants… plusieurs dizaines de milliards de transistors dans un microprocesseur de la taille d’un ongle !
La maturation du zéro a demandé du temps, parce que contrairement à tous les autres nombres, il ne représente aucune quantité. Si la nature a horreur du vide, les hommes encore plus.
Le zéro est né à la faveur d’hommes ayant fait preuve d’audace pour penser le rien ou le presque rien (Brahmagupta, Leibniz, Newton), ou pour s’immerger dans d’autres cultures que la leur (Al-Khwārizmī, Fibonacci). En ce sens, l’invention du zéro montre combien la confrontation à l’inconnu et l'immersion dans l’altérité peuvent s’avérer fécondes.
Sources :
Antoine Houlou-Garcia, il était une fois le zéro, éd. Alisio Sciences, 2023, 208 pages
Gérald Tenenbaum, Des mots & des maths, éd. Odile Jacob, 2019, 196 pages
Le zéro — Maths et tiques
L’histoire des nombres — Lumni
Calcul différentiel — Wikipedia
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